O paradoxo de Aquiles

Este paradoxo idealizado por Zenão (e aqui adaptado por mim) diz-nos o seguinte:

Caso eu pretenda ir neste momento até ao café (distância n), terei de percorrer antes metade do caminho. Após ter percorrido n/2, falta ainda percorrer metade do caminho restante. Após ter percorrido n/2+n/4, falta ainda percorrer metade do caminho restante. Após ter percorrido n/2+n/4+n/8, falta ainda percorrer metade do caminho restante. Após ter percorrido n/2+n/4+n/8+n/16, falta ainda percorrer metade do caminho restante. Ufa! Após ter percorrido n/2+n/4+n/8+n/16+n/32, falta ainda percorrer metade do caminho restante. Após ter percorrido n/2+n/4+n/8+n/16+n/32+n/64, falta ainda percorrer metade do caminho restante. Após ter percorrido n/2+n/4+n/8+n/16+n/32+n/64+n/128, falta ainda percorrer metade do caminho restante.

Assim é fácil encher páginas e páginas de blogs! Podia esgotar a memória de qualquer servidor e continuava sem chegar ao café. Apesar de tudo, garanto, já tenho ido à Paulinha muitas vezes!

O somatório de n/2+n/4+…+n/2ⁱ, com i a tender para infinito é n; Ou seja, o total do caminho. Mas é um somatório infinito! Surpreendente esta capacidade de ultrapassarmos a cada passo, a cada movimento, infinitas vezes o infinito. Acho chocante e ininteligível.

Pelo menos no mundo das 4 dimensões.

Qual é a dimensão de um novelo de fio?

Mandelbrot respondeu que isso depende do ponto de vista. Visto de grande distância, o novelo não é mais do que um ponto, com dimensão zero. Visto mais de perto, o novelo parece um volume opaco, assumindo assim três dimensões. Visto ainda mais de perto, o fio torna-se visível, e o objecto torna-se de facto unidimensional – ainda que essa dimensão única se enovele em volta de si mesma num espaço tridimensional, qualquer posição específica ao longo do fio é única, por muito que o fio esteja enovelado. Continuando a aumentar a resolução da imagem do novelo, o fio deixa de ser apenas uma linha e passa a aparecer como uma coluna tridimensional, até voltarmos a encontrar as fibras unidimensionais que compõem o fio. Ampliando a imagem ainda mais, voltamos a ver as fibras em 3 dimensões, até encontrarmos os átomos, como pontos sem dimensão (o conjunto destes pontos, que é o nosso novelo, tem então dimensão 0).

Assim, dependendo do detalhe com que observamos o novelo, este objecto pode assumir 0, 1 ou 3 dimensões.

Mas porque ficámos nos átomos? Podíamos ter ido bem mais “longe”!

Mergulhos infantis

Uma das mais fascinantes brincadeiras de criança que experimentei consistia no seguinte:

Encostado a uma parede, subia e descia flectindo os joelhos; Ao mesmo ritmo, inspirava e expirava o ar o mais profundamente que conseguia; Repetia este movimento entre 10 e 20 vezes; Finalmente, sustendo a respiração, colocava-me de pé enquanto alguém me empurrava contra a parede com uma mão no peito e outra na boca. O resultado era uma viagem alucinada, uma evasão da realidade, um tiro que me atirava a estados subconscientes e oníricos.

Também era muito engraçado ficar a ver: desde desmaios a convulsões, palavras sem nexo e desorientamento total, as figuras ridículas rebentavam-nos de riso. E medo.

Mais tarde comecei a pensar em qual o mecanismo fisiológico que nos provocava estas alterações mentais. Pensei que era a falta de oxigénio no encéfalo e fiquei assustado com as consequências destas brincadeiras infantis. No entanto, algo não batia certo nesta teoria: Se acabara de respirar com a máxima força, porque começava a alucinação a fazer efeito ainda antes de suster a respiração? Porquê ao encher um balão rapidamente tinha um efeito parecido?

Há algum tempo soube que os mergulhadores podem sofrer de “narcose por azoto”, quando mergulham a grandes profundidades, devido à pressão da água. Esta pressão faz com que o azoto no sangue tenha um efeito semelhante ao álcool etílico.

E assim, finalmente, cheguei à conclusão do porquê das consequências da brincadeira que fazia em criança: A hiperventilação aumenta a presença de azoto no sangue, o subir e descer do corpo aumenta o ritmo cardíaco e finalmente o empurrão contra a parede eleva a pressão sanguínea aos níveis necessários para acontecer a narcose. Nada mal feito, para putos inconscientes que éramos!